السِّجِلّ

مبرهنة تارسكي لانعدام التحديد Tarski's Undefinability Theorem | مقال طويل لكن جِد عميق | من قال أننا لا نقدر على المقالات الطوال؟

إن قليلا من النتائج الرصينة قد ألقت بظلالها الطويلة في خضم الأعاصير الثقافية العاصفة بالرياضيات والفلسفة في القرن العشرين، ومن جملة هذه النتائج الخالدة مبرهنة انعدام التحديد التي صاغها تارسكي في بدايات ثلاثينيات القرن المنصرم –تلك الفترة التي شهدت اضطرابا بنيويا في محاولات إعادة تأسيس الرياضيات– وإنها تطرح حدودا ليس في الوسع الهرب منها: 《لا يمكن لأي نظام صوري قوي كفايةً أن يعرِّف الحقيقة لجُمُله الذاتية》ولهذه النتيجة الفخمة تشعبات وتفرُّعات تسرحُ بعيدا عن الرياضيات ذاتها، عابرةً الحدود إلى أعمق أعماق فهمنا للغة، وللمعنى، ولرمزية الحقيقة ذاتها.

بدأت رحلة تارسكي في صياغة تلك المبرهنة في بولندا إثر فترة بلغ فيها الإبداع الرياضي مبلغا عظيما، وقد طوَّر الرجل أفكارها وأبدَعَها حول الحقيقة واللغات الرسمية بعدما تأثر بالأعمال التأسيسية الجلل لمناطقة مثل فريجه وراسل وهلبرت، أما المبرهنة موضعَ المقال اليوم فقد ظهرت بدايةً عام 1933 باللغة البولندية تحت عنوان 《تصوُّر الحقيقة في اللغات الرسمية》، وسيُكتَب لها قبول وسيع بفضل الترجمة الألمانية عام 1935 والترجمات الإنجليزية عام 1956. وكما يلاحظ سالمون فِفِرمَن في مقدمته إلى مجموع أوراق تارسكي: 《لقد صنع هذا العمل ثورةً في حقله وحدَّد شكل الحقل الأساسي إلى يومنا هذا》(Feferman, 1986, p. 18)¹ مما يضع تارسكي واحدا نن عمالقة المناطقة.

في الوسع طرح المبرهنة ببساطة على الآتي: 《لأي نظام صوري متماسك ومتسق F قادر على التعبير عن مبادئ الحساب، فإن مفهوم الحقيقة للجمل داخل F لا يمكن تعريفه داخل F ذاتها》وأما البرهان الرياضي على ذلك فإنه يوظِّف حجة قطرية Diagonalization argument شبيهة بتلك التي جرى استعمالها في مبرهنات غودل، إلا أن تارسكي قد قارَبَ الوضع بالتركيز خصيصا على رمزية دلاليات Semantics الحقيقة بدلا من البرهنة النحوية. وعبرَ صورنة نسخة من مفارقة الكاذب Liar Paradox ("هذه الجملة خاطئة") استطاع تارسكي أن يُظهِر أن أي محاولة لتأسيس إسنادات للحقائق داخل نظام قادر على الترجيع الذاتي Self-Reference تقود –أي المحاولة– حتما إلى التناقض.

وهنالك ولا شك علاقة بين مبرهنة تارسكي ومبرهنات غودل الأُوَل، وهي علاقة عميقة ومتبادلة، ففي حين أظهر غودل أن أي نظام متسق قادر على مبادئ الحساب لا يمكنه إثبات كل الجمل الصحيحة، أظهر تارسكي أن مثل ذلك النظام لا يحتوي حتى الموارد التي تسمح له بتعريف أيّ الجمل داخله هي الصحيحة. ويشخِّص ريموند سموليان في 《Gödel's Incompleteness Theorems》 (1992, pp. 83-87)² نتيجة تارسكي على أنها 《النسخة الدلالية من مبرهنة غودل الأولى》كاشفات أن الثِّنْتَيْن تخرجان من نفس البوتقة، أو من نفس الحدود الأساسية للمرجعية الذاتية في الأنظمة الصورية. والثِّنتان تشيران إلى الحدّ الذي تقف وراءه الصورنة بحيث لا تستطيع تجاوزه بصرف النظر عن مدى ازدياد التعقيد أو قوة التعبير.

ومواجها مؤديات مبرهنته، طوَّر تارسكي واحدةً من أكثر أفكاره تأثيرا: تراتبية اللغات الدلالية Semantic Hierarchy of Languages، فإذا كانت الحقيقة للغة L0 لا يمكن تعريفها في L0 ذاتها، يقول تارسكي، أنه لا بد أن يكون تعريفها ممكنا في لغة L1 وصفية Metalanguage، فكما يكتب في عمله الرئيس: 《إن مفهوم الحقيقة لا يدين إطلاقا للغة التي تحاول تعريفه، بل للغة وصفية》(Tarski, 1956, p. 267)³، وهذا الإلهام يقود إلى تراتبية لانهائية: تعريف الحقيقة لL1 يتطلب لغة وصفية L2، وهكذا إلى غير نهاية. وإن هذه الطبقية تتوافق مع نظرية راسل للأصناف Theory of Types، والتي جرى تطويرها لتجنب المفارقات في نظرية المجموعات.

وللمبرهنة استتباعات تخطو بعيدا عن الاهتمامات المنطقية الصَّرِفَة، فعبر تقرير استحالة تعريف الحقيقة داخل لغة للجمل من نفس اللغة، واجه تارسكي إعادة اعتبار هام للعلاقة بين اللغة والواقع. فقد بنى دونالد ديفيدسون عمله الكبير 《Truth and Meaning》(1967, pp. 304-332)⁴ على قوالب تارسكي الدلالية بحيث طور نظرية للمعنى التي ترتهن بظروف الحقيقة. فعنده أن تارسكي وفي حين أظهر عدم استطاعة اللغات أن تحتوي إسنادات حقائقها، إلا أن نظريته الدلالية وفَّرت حجر الأساس لفهم الكيف الذي تتصل به اللغة بالعالَم.

وأما هيلاري بوتنام، فاحصا مؤديات المبرهنة في كتابه 《Reason, Truth and History》(1981, pp. 105-117)⁵، يجادل بأن عمل تارسكي يتحدى أساسات نظريات مطابقة الحقيقة Correspondence theories of truth من خلال توضيح أن رمزية المطابقة بين اللغة والواقع لا يمكن صورنتها داخل اللغة نفسها. وهذي الحدود تعكس تفرقة فتغنشتاين الشهيرة في 《Tractatus Logico-Philosophicus》 بين ما يمكن قوله وما يمكن إظهاره فحسب.

يستكشف ميشيل داميت في كتابه 《Truth and Other Engimas》(1978, pp. 186-201)⁶ أن الذي لا يمكن التعبير عنه داخل نظام صوري فإنه من الممكن أن يُكشَف عنه بأدوات النظام —حدوده وبنيته.

وبعيدا عن كل ذلك فإن مبرهنة تارسكي تمتد بعيدا عن فلسفة اللغة نحو أساسات الرياضيات ذاتها، فإذا كانت الحقيقة الرياضية غير قابلة للتعريف داخل الرياضيات، فماذا يعني ذلك لنا بالنسبة لطبيعة المعرفة الرياصية؟ إن غودل بنفسه، مستجيبا لعمل تارسكي في محاضرة Gibbs عام 1952 (جرى نشرها عام 1995، ص290-304) اقترح أن مبرهنة تارسكي تقود إلى شكل من الواقعية الرياضية —الرؤية القائلة بأن الحقائق الرياضية تتواجد مستقلةً عن أنظمتنا الصورية بل وحتى عن عقولنا البشرية أيضا. فإذا لم يستطع نظام صوري أن يقبض على الحقيقة الرياضية، فإنه من الممكن أن تكون الحقيقة متعالية عن الصورنة تماما.

يمثل عمل سول كريبكي العظيم 《Outline of a Theory of Truth》(1975, pp. 690-716)⁷ واحدة من أعنف المحاولات للتحايل على الحدود التي اكتشفها تارسكي، فقد طور كريبكي نظريةً للحقيقة تسمح بأشكال معينة من المرجعية الذاتية ولكن باتِّقاء المفارقة عبر معاملة الحقيقة على أنها إسناد جزئي مُعَرَّف عبر مراحل، ومقاربة كريبكي هذه لا تخرق مبرهنة تارسكي (لأنها لا توفر تعريفا كلاسيكيا كاملا للحقيقة داخل اللغة).

بل حتى عوالم التحسيب ونظرية التعقيد قد وصلها أثر المبرهنة، فهذا غريغوري تشيتين، ومن لا يعرف تشيتين! قد وصل مبرهنة تارسكي باشتغاله على العشوائية الخورازمية Algorithmic randomness في كتابه 《Algorithmic Information Theory》(1987, pp. 64-67)، مقترحا بأن كلتَي النتيجتيْن تشيران إلى حدود أساسية فيما يتعلق بما يمكن معرفته أو حوسبته. كذلك فإن ديفيد هاريل يفحص كيف أن مبرهنة تارسكي تتصل بمشكلة التحقق في علم الحاسوب –سؤال إذا ما كان البرنامج يوافق شروطه ومحدداته. فإذا لم تكن الحقيقة قابلة للتعريف داخل نظام، فإنه لا يمكن تعريف خاصية من خصائص برنامج ما لتجري صورنتها تماما داخل النظام.

المصادر:
Chaitin, G.J. (1987). Algorithmic Information Theory. Cambridge University Press, pp. 64-67.

Davidson, D. (1967). Truth and Meaning. Synthese, 17(1), pp. 304-323.

Dummett, M. (1978). Truth and Other Enigmas. Harvard University Press, pp. 186-201.

Feferman, S. (1986). Introduction to Alfred Tarski: Collected Papers, Vol. 2. Birkhäuser, pp. 13-29.

Field, H. (2008). Saving Truth from Paradox. Oxford University Press, pp. 201-236.

Gödel, K. (1995). Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications. In S. Feferman (Ed.), *Kurt Gödel: Collected Works, Volume III: Unpublished Essays and Lectures. Oxford University Press, pp. 290-304. [Originally delivered as the Gibbs Lecture in 1951]

Harel, D. (2000). Computers Ltd.: What They Really Can't Do. Oxford University Press, pp. 115-119.

Hofweber, T. (2005). Inexpressible Properties and Propositions. Oxford Studies in Metaphysics, 2, pp. 257-279.

Kripke, S. (1975). Outline of a Theory of Truth. The Journal of Philosophy, 72(19), pp. 690-716.

Putnam, H. (1981). Reason, Truth and History. Cambridge University Press, pp. 105-117.

Smullyan, R. (1992). Gödel's Incompleteness Theorems. Oxford University Press, pp. 83-87.

Tarski, A. (1956). The Concept of Truth in Formalized Languages. In Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford University Press, pp. 152-278. [Originally published in Polish in 1933]

Wittgenstein, L. (1922). Tractatus Logico-Philosophicus. Routledge & Kegan Paul.

أُولى وأهم خطوات الإبداع أن تتعرف على مشكلة وتحددها تحديدا واضحا، وهي ذي الخطوة الأصعب، فبعد إيجاد المشكلة من السهل خلق ألف وسيلة لحلها. وكل الإبداع التكنولوجي وغيره قائم على هذي المعادلة، ولذلك تجد صعبا على أغلب الخلائق أن يأتوا بالجديد؛ لأن الجلوس والقعود ومن ثَم البحث عن حلول فورية لجني الأموال أو صناعة ثورة لا ينفعان، فليس في وسعك أن تجد حلًّا وليست عندك مشكلة صحيح؟ يبحث الناس في غوغل بكثرة عن 《آخر 10 صرعات في التكنولوجيا》و《أقوى 20 فكرة للعمل عليها في برمجة الويب》. ولكن ليس هذا مسارا لائقا، ما المشكل في أن تجلس، وتبدأ الرصَّ في الاطلاع على أعمق مكامن النطاق الذي تشتغل فيه؟ تقرأ تاريخه بدءًا وتغوص فيما مر عليه من تطويرات وتحسينات، وترى أهم الأدوات والتطبيقات التي تمخضت فيه...

ما الذي جعل بل غتس يبدع مايكروسوف لولا أنه كان معاصرا لأحداث جِسام وأزمنة هامة استطاع أن يستغلها بفضل اطلاعه الكثيف على ما كان في عصره؟ وما الذي جعل لاري بيج وسيرجي برين يبدعان غوغل لولا أنهما استوعبا جيدا الوقتَ الذي كانا فيه؟!

برتراند رسل يعترف بأن كتابه الفلسفي الأول عديم القيمة تماما! بسبب كشوفات آينشتاين

《إن كتابي الفلسفي الأول "مقالة في أسس الهندسة" —الذي كان تنقيحا لرسالة الزمالة— ليبدو لي الآن على شيء من السخف. فقد تناولت فيه سؤال كانط "كيف يمكن قيام علم للهندسة؟" وقررت أنه لا يكون ممكنا إلا إذا كان المكان نوعا من أنواع المكان الثلاثة المتعارف عليها: أولها إقليدي، والآخران لا إقليديان لكنهما يتصفان بأنهما يحتفظان "بمقياس ثابت للمنحنى Constant measure of Curvature". غير أن ثورة آينشتاين قد اكتسحت كل ما يمت بصلة لهذه الوجهة من النظر: فالهندسة في نظرية النسبية العامة لآينتشاين، هي من ذلك النوع الذي أعلنت [في كتابي] أنه مستحيل. وقد كان يمكن للنظرية الوترية Theory of Tensors التي أرسى عليها آينشتاين نظريته —أن تكون ذات عون في بحثي. لكنني لم أسمع بها قط إلا بعد أن استخدمها آينشتاين. لذلك لا أعتقد أن في ذلك الكتاب المبكر شيئا صحيحا، إذا ما استثنينا التفاصيل.》

~ برتراند رسل، فلسفتي كيف تطورت، ترجمة عبدالرشيد الصادق محمودي، المركز القومي للترجمة، ص62–63.

كيف تجري دراسة مشروعية العملات المشفرة ومشاريع البلوكتشين؟ مقال رقم 1

لكي نحقِّق قضية الحلِّ والحرمة فيما يتعلق بالعملات المشفرة، فإنه يتحتَّم علينا الارتكاز على مبادئ الاقتصاد داخل المنظومة الإسلامية، ومِن أهم الاصطلاحات ما يلي:

1. الربا؛ وهو حرام.
2. الغَرَار: وهو الغموض المفرط في حاصِل التجارة أو انعدام اليقين بصورة عالية في المؤديات؛ وهو محرَّم.
3. الميسر (القمار)
4. القيمة الجوهرية Underlying Value: استلزام أن تكون للأصول قيمة جوهرية.

ولكن أيُّ شيء على العملات المشفرة أن تمثِّله لكي تكون حلالا؟
1. لا بد أن تكون وسيلة تبادل
2. لا بد أن تكون مختزنة لقيمة
3. لا يجوز أن تستخدم بشكل رئيس في الرهان
4. أن ينعقد إجماع مجتمعي على قيمتها

ولذا فإن أنظمة البلوكتشين الشهيرة مثل البيتكوين والإيثيريوم وغيرها تكون حلالا طالما جرى استخدامها بصورة أساسية كأنظمة مدفوعات بدلا من استثمارات رهانيّة، وهاهنا فإن السوق الفوري Spot الذي يجري فيه تقابض في ذات المجلس حلالٌ طالما كانت عملاته حلال، فبعض العملات قد تكون مشاريعُها ربوية أو راعية لخمور أو غيره، فيجب البحث في مشروعية مشاريع العملات عملةً بعملة. أما أسواق المضاربة الآجلة Futures والعقود الأبدية Perpetual Contracts فهي مما لا شك في حرمتها لمَا فيها من غرار ومعاملات ربوية.

وهذه مواقع مفيدة في تتبع مشاريع العملات كلا على حدة:

PiF
SharLife