من أجمل ما درست اليوم...مفارقة باناخ-تارسكي
تصور برتقالةً في يدك، وقطِّعها إلى قِطَع كثيرة، ثم حاول جمع كل ما قطّعته لكي تصنع برتقالتَيْن متماثلتَيْن، وكلاهما نفس حجم البرتقالة الأصلية. مستحيل، صحيح؟ ولكن لمفارقة باناخ-تارسكي رأيٌ آخر
تشير المفارقة في جوهرها إلى أنك تستطيع تجزيء كرة صلبة في فضاء ثلاثي الأبعاد إلى عدد نهائي finite من القِطَع، وثم وعبر تدويرات بسيطة يمكنك تجميع هذه القطع لتشكيل نسختَيْن متماثلتين من الكرة الأصلية، ولكن كيف ستجري هذه التدويرات "البسيطة"؟
اكتشف باناخ وتارسكي، اثنان من السَّحَرة الرياضيين، أنه في وسعنا إيجاد تدويرَتَيْن مميزتيْن تقومان بتوليد ما يُصطلَح عليه رياضيا باسم "مجموعة حرة free group"، ولنقل أنهما a وb:
F2 = ⟨a,b⟩ ⊂ SO(3)
ولتبسيط القضية، تخيل هاتين التدويرتين على أنهما نقلات أساسية نستطيع جمعها وفق أي ترتيب من غير أن نرجع إلى المكان الذي بدأنا منه إطلاقا؛ إلا في حالة التراجع عن النقلة.
ولكن إثارة الدهشة تبدأ هنا: إذا ما قسّمنا كرة الوحدة Unit sphere (تخيل سطح كرة مدورة بشكل مثالي) إلى مدارات تحت هذه التدويرات، فكل مدار كثيف على الكرة بحيث إذا تتبعت أي نقطة على المدار فإنه ستبدأ في التقارب مع كل نقطة أخرى على الكرة!
يمكننا كتابة التجزيء على هذه الشاكلة؛
S² = E ∪ A ∪ B ∪ C
حيث E مجموعة قابلة للعد من النقاط المميزة، وA وB القطع الرئيسية، وC هي كل شيء آخر.
أما الصعقة الحقيقية فتبدو هنا:
A ≈ aA ∪ C
B ≈ bB ∪ C
تخبرنا هذه الصياغات أننا وجدنا طريقةً لتدوير قطع الكرة لصناعة ما هو أكثر مما بدأنا به!
"القطع" ليست شرائح من الكعك، بل أشياء رياضية تُدعى المجموعات غير القابلة للقياس non-measurable sets، والتي يعتمد وجودها على بدَهِية axiom أساسية في الرياضيات تُسمى بدهية الاختيار Axiom of Choice.
وكأن المفارقة تكشف عن أن حدوسنا بخصوص "الحجوم" تنهار في العالم الرياضي، فهذه القطع ليست ذات "حجم" بأي معنى من المعاني التي نعرفها! فإذا كان لها حجم فإن تفسير الأمر يكون بالخلق من العدم!
تصور برتقالةً في يدك، وقطِّعها إلى قِطَع كثيرة، ثم حاول جمع كل ما قطّعته لكي تصنع برتقالتَيْن متماثلتَيْن، وكلاهما نفس حجم البرتقالة الأصلية. مستحيل، صحيح؟ ولكن لمفارقة باناخ-تارسكي رأيٌ آخر
تشير المفارقة في جوهرها إلى أنك تستطيع تجزيء كرة صلبة في فضاء ثلاثي الأبعاد إلى عدد نهائي finite من القِطَع، وثم وعبر تدويرات بسيطة يمكنك تجميع هذه القطع لتشكيل نسختَيْن متماثلتين من الكرة الأصلية، ولكن كيف ستجري هذه التدويرات "البسيطة"؟
اكتشف باناخ وتارسكي، اثنان من السَّحَرة الرياضيين، أنه في وسعنا إيجاد تدويرَتَيْن مميزتيْن تقومان بتوليد ما يُصطلَح عليه رياضيا باسم "مجموعة حرة free group"، ولنقل أنهما a وb:
F2 = ⟨a,b⟩ ⊂ SO(3)
ولتبسيط القضية، تخيل هاتين التدويرتين على أنهما نقلات أساسية نستطيع جمعها وفق أي ترتيب من غير أن نرجع إلى المكان الذي بدأنا منه إطلاقا؛ إلا في حالة التراجع عن النقلة.
ولكن إثارة الدهشة تبدأ هنا: إذا ما قسّمنا كرة الوحدة Unit sphere (تخيل سطح كرة مدورة بشكل مثالي) إلى مدارات تحت هذه التدويرات، فكل مدار كثيف على الكرة بحيث إذا تتبعت أي نقطة على المدار فإنه ستبدأ في التقارب مع كل نقطة أخرى على الكرة!
يمكننا كتابة التجزيء على هذه الشاكلة؛
S² = E ∪ A ∪ B ∪ C
حيث E مجموعة قابلة للعد من النقاط المميزة، وA وB القطع الرئيسية، وC هي كل شيء آخر.
أما الصعقة الحقيقية فتبدو هنا:
A ≈ aA ∪ C
B ≈ bB ∪ C
تخبرنا هذه الصياغات أننا وجدنا طريقةً لتدوير قطع الكرة لصناعة ما هو أكثر مما بدأنا به!
"القطع" ليست شرائح من الكعك، بل أشياء رياضية تُدعى المجموعات غير القابلة للقياس non-measurable sets، والتي يعتمد وجودها على بدَهِية axiom أساسية في الرياضيات تُسمى بدهية الاختيار Axiom of Choice.
وكأن المفارقة تكشف عن أن حدوسنا بخصوص "الحجوم" تنهار في العالم الرياضي، فهذه القطع ليست ذات "حجم" بأي معنى من المعاني التي نعرفها! فإذا كان لها حجم فإن تفسير الأمر يكون بالخلق من العدم!
