برهان كارت غودل الأنطولوجي على وجود الله، الوجوه الرياضية الصورية فقط من البرهان؛ سأتجاهل الوجوه الفلسفية
بيان البرهان الذي يستخدم النظام الخامس من منطق الموجِّهات (Modal Logic S5)
1. البَدهيَّة الأولى (الإيجاب):
∀P∀Q((P → Q ∧ Pos(P)) → Pos(Q))
إذا كانت الخاصية P موجبة، وكانت P تؤدي -حصرا- الخاصية Q، فإن Q موجبة كذلك
2. البدهية الثانية (السلب):
∀P(Pos(P) ↔️ ¬Pos(¬P))
الخاصية تكون موجبة إذا وفقط إذا كان نفيُها -غير موجب- سالبا
3. المبرهنة الأولى (الإمكان):
∀P(Pos(P) → ◊∃xP(x))
الخصائص الموجبة ممكنٌ -ضرب المثال- تمثيلُها
4. التعريف الأول (ما هو إلهي):
∀x(G(x) ↔️ ∀P(Pos(P) → P(x)))
الذي هو إلهي يمتلك كل الخصائص الموجبة
5. البدهية الثالثة (شبه إلهي):
Pos(G)
خاصية وجود شبه الإلهي موجبةٌ
6. المبرهنة الثانية (الوجود):
◊∃xG(x).
الله موجود، هذا إمكانٌ
7. التعريف الثاني (الجوهر)
∀x∀y∀P(P is an essence of x ↔️ P(x) ∧ ∀y(P(y) → y = x)).
جوهر الفرد هو خاصية ممتلكة من قبله بحيث أن أي فرد يمتلكها فهي خاصية مطابقة له
8. البدهية الرابعة (الضرورة):
∀P(Pos(P) → □Pos(P)).
إذا كانت الخاصية موجبة، فهي بالضرورة موجبة
9. التعريف الثالث (وجود الضروري):
∀x(NE(x) ↔️ ∀P(P is an essence of x → □∃yP(y))).
الوجود الضروري لفرد هو التمثيل لكل جواهر
10. البدهية الخامسة (الوجودية الإيجابية):
Pos(NE).
الوجود الضروري خاصية موجبة
11. المبرهنة الثالثة (الوجود الضروري):
□∃xG(x)
بالضرورة؛ الله موجود.
هذي هي الوجوه الرياضية لبرهان غودل الأنطولوجي، الذي صاغه في أواخر حياته ووُجِدَ في أعماله غير المنشورة