# طرائق التقرير واللوحات الدلالية في المنطق الإسنادي
## المقدمة
يوفر **المنطق الإسنادي** (Predicate Logic) أو **منطق الرتبة الأولى** (First-Order Logic) طرائق عديدة لتقرير صحة الجمل المنطقية. تتدرج هذه الطرائق من جداول الحقيقة البسيطة إلى وسائل أعقد مثل اللوحات الدلالية والبراهين الشكلية. لكل طريقة نقاط قوة وحدود، وهذا موضوع مقالتنا هذه.
## 1. طريقة جداول الحقيقة
### 1.1 التعريف الأساسي
طريقة جداول الحقيقة جوهرية في المنطق الإسنادي. بالنظر إلى الصيغ:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \quad \text{و} \quad \psi
$$
يمكننا تحديد إذا ما كانت:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \models \psi
$$
عبر إنشاء جدول حقيقة يجرد كل قيم الحقيقة الممكنة ويفحص قيمة الحقيقة لكل زوج.
### 1.2 التعقيد الحسابي
**قضية:** بإعطاء لغة $L$ مع $k$ أحرفًا للجملة، هنالك $2^k$ بنية مختلفة من $L$-بنى.
**البرهان:** كل حرف جملة يمكن أن يأخذ قيمتين (صواب أو خطأ)، وبالتالي:
$$
|\text{Structures}| = \underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{k \text{ times}} = 2^k
$$
نفحص كل بنية لنرى إذا ما كانت نموذجًا لـ $\phi_1, \ldots, \phi_n$ ولكن ليس لـ $\psi$. فإذا تواجدت بنية كتلك، فإن:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \not\models \psi
$$
عدا عن ذلك:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \models \psi
$$
## 2. اللوحات الدلالية
### 2.1 التعريف
تُعرف **اللوحات الدلالية** (Semantic Tableaux) بمسمى آخر: **شجر الحقيقة** (Truth Trees)، وهي بديل لجداول الحقيقة. هذه الطريقة تجزئ الصياغات المعقدة إلى أجزاء أبسط، مشكِّلة بنية شجرية.
### 2.2 مثال تطبيقي
**قضية:** نريد إثبات:
$$
p \land q, \neg(p \land r) \models \neg r
$$
**البرهان بالتناقض:**
1. نحول المتسلسل إلى:
$$
p \land q, \neg(p \land r), \neg\neg r \models \bot
$$
2. نبسط $\neg\neg r$ إلى $r$:
$$
p \land q, \neg(p \land r), r \models \bot
$$
3. نفكك $p \land q$:
$$
p, q, \neg(p \land r), r \models \bot
$$
4. نستعرض الاحتمالات لـ $\neg(p \land r)$ باستخدام قانون دي مورجان:
$$
\neg(p \land r) \equiv \neg p \lor \neg r
$$
**الفرع الأول:** $\neg p$
$$
p, q, \neg p, r \models \bot \quad \text{(تناقض: } p \land \neg p \text{)}
$$
**الفرع الثاني:** $\neg r$
$$
p, q, r, \neg r \models \bot \quad \text{(تناقض: } r \land \neg r \text{)}
$$
5. بما أن كل فرع يقود لتناقض، فإن المتسلسل صحيح. $\square$
### 2.3 التمثيل البياني
يمكن تمثيل اللوح الدلالي بيانيًا:
$$
\begin{array}{c}
p \land q, \neg(p \land r), \neg\neg r \models \bot \\
\downarrow \\
p, q, \neg(p \land r), r \models \bot \\
\swarrow \quad \searrow \\
p, q, \neg p, r \models \bot \quad p, q, \neg r, r \models \bot \\
\times \quad \times
\end{array}
$$
حيث $\times$ تشير إلى إغلاق الفرع (تناقض).
## 3. شجر الحقيقة
### 3.1 الفرق عن اللوحات الدلالية
**شجر الحقيقة** تمثيل أوجز للوح الدلالي. فهي تلغي العناصر المتكررة، مما يجعل التحليل أوضح وأسهل للتتبع.
### 3.2 تحويل المثال السابق
$$
\begin{array}{c}
p \land q, \neg(p \land r), \neg\neg r \\
\downarrow \\
r \\
\downarrow \\
p \\
\downarrow \\
q \\
\swarrow \quad \searrow \\
\neg p \quad \neg r \\
\times \quad \times
\end{array}
$$
## 4. قوانين شجر الحقيقة
### 4.1 القوانين الأساسية
تُشتق قوانين تبسيط الصيغ في شجر الحقيقة من تعريفات جداول الحقيقة للروابط المنطقية:
$$
\begin{array}{lcl}
\neg\neg\phi & \rightarrow & \phi \\
\phi \land \psi & \rightarrow & \phi, \psi \\
\neg(\phi \land \psi) & \rightarrow & \neg\phi \mid \neg\psi \\
\phi \lor \psi & \rightarrow & \phi \mid \psi \\
\neg(\phi \lor \psi) & \rightarrow & \neg\phi, \neg\psi \\
\phi \rightarrow \psi & \rightarrow & \neg\phi \mid \psi \\
\neg(\phi \rightarrow \psi) & \rightarrow & \phi, \neg\psi \\
\phi \leftrightarrow \psi & \rightarrow & (\phi, \psi) \mid (\neg\phi, \neg\psi) \\
\neg(\phi \leftrightarrow \psi) & \rightarrow & (\phi, \neg\psi) \mid (\neg\phi, \psi)
\end{array}
$$
حيث:
- الفاصلة (,) تعني "و" (conjunction)
- الخط العمودي (|) يعني "أو" (disjunction/branching)
### 4.2 شرط الإغلاق
**تعريف:** يُغلق الفرع حينما يظهر تناقض، أي:
$$
\exists \phi: \quad \{\phi, \neg\phi\} \subseteq \text{Branch}
$$
**قضية (الاكتمال):** إذا أُغلقت كل الفروع، فإن المتسلسل صحيح.
## 5. المتسلسلات العمومية
### 5.1 التعريف
باستخدام **المتسلسلات العمومية** (General Sequents)، نكتب:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \vdash \psi_1, \ldots, \psi_m
$$
**المعنى:** لا توجد بنية قادرة على جعل $\phi_1, \ldots, \phi_n$ صحيحة و $\psi_1, \ldots, \psi_m$ خاطئة في ذات الوقت.
### 5.2 الخصائص
**قضية (الرتابة):** إذا كان:
$$
\Gamma \vdash \Delta
$$
فإن:
$$
\Gamma, \Gamma' \vdash \Delta, \Delta'
$$
لأي $\Gamma', \Delta'$.
**البرهان:** إذا لم توجد بنية تجعل $\Gamma$ صحيحة و $\Delta$ خاطئة، فبالأولى لن توجد بنية تجعل $\Gamma \cup \Gamma'$ صحيحة و $\Delta \cup \Delta'$ خاطئة. $\square$
## 6. حسابات الإثبات الشكلية
### 6.1 التعريف
**حساب الإثبات الشكلي** $\mathcal{C}$ يُقنن التفكير المنطقي جاعلًا إياه قوانين ميكانيكية. يقدم قوانين لكتابة الرموز والتلاعب بها من أجل إثبات المتسلسلات في لغة $L$.
المتسلسل:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \vdash \psi
$$
يؤذن بأن عندنا إثباتًا شكليًا في $\mathcal{C}$ مع مقدمات $\phi_1, \ldots, \phi_n$ ونتيجة $\psi$.
### 6.2 الخواص الأساسية
**تعريف (السلامة):** نقول عن $\mathcal{C}$ أنها **سليمة** (Sound) إذا كان:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \vdash \psi \quad \Rightarrow \quad \phi_1, \ldots, \phi_n \models \psi
$$
**تعريف (الاكتمال القوي):** نقول عن $\mathcal{C}$ أنها **كاملة بشدة** (Strongly Complete) إذا كان:
$$
\phi_1, \ldots, \phi_n \models \psi \quad \Rightarrow \quad \phi_1, \ldots, \phi_n \vdash \psi
$$
**تعريف (الاكتمال الضعيف):** نقول عن $\mathcal{C}$ أنها **كاملة بضعف** (Weakly Complete) إذا كان:
$$
\models \psi \quad \Rightarrow \quad \vdash \psi
$$
### 6.3 نظرية الاكتمال
**نظرية (غودل 1930):** المنطق الإسنادي **كامل** و **سليم**.
$$
\Gamma \vdash \phi \quad \Leftrightarrow \quad \Gamma \models \phi
$$
هذه النظرية تؤكد أن حسابات الإثبات الشكلية يمكنها بفعالية ودقة أن تشتق نتائج ومؤديات منطقية.
## 7. الخاتمة
طرائق التقرير التي تحدثنا عنها هامة ومحورية لفهم الأنظمة المنطقية والتعامل معها. إنها توفر أدوات جبارة لتعقب صحة الجمل المنطقية:
1. **جداول الحقيقة**: بسيطة لكن تعقيدها أسي ($O(2^n)$)
2. **اللوحات الدلالية**: أكثر كفاءة للصيغ المعقدة
3. **حسابات الإثبات**: توفر إطارًا رياضيًا صارمًا
من خلال فهم وتنفيذ هذه الطرائق، يستطيع المرء أن يشحذ بصيرته في نطاق التعامل مع الأنظمة المنطقية وتطبيقاتها في الرياضيات، علوم الحاسوب، والفلسفة.
---
## المراجع والقراءات الإضافية
للاستزادة في موضوع المنطق الإسنادي واللوحات الدلالية، يُنصح بمراجعة:
- Smullyan, R. M. (1968). *First-Order Logic*. Dover Publications.
- Fitting, M. (1996). *First-Order Logic and Automated Theorem Proving*. Springer.
- Enderton, H. B. (2001). *A Mathematical Introduction to Logic*. Academic Press.
مقالة علمية